Phân tích nguyên lý Binius STARKs và suy nghĩ tối ưu của nó
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ đầu tiên là 252bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng độ rộng mã hóa 32bit vẫn còn tồn tại nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có bất kỳ không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các nghiên cứu gần đây về trường hữu hạn, nghiên cứu về trường nhị phân có thể được truy nguyên đến những năm 1980. Hiện tại, trường nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
Mã QR, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên trường F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo tính bảo mật. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính bảo mật và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong các phép toán của Prover không cần phải vào miền mở rộng mà chỉ cần thao tác trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính bảo mật cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền được sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền được sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đề xuất một giải pháp sáng tạo, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và thể hiện cùng một dữ liệu bằng hai phương pháp khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "siêu khối" ( hypercubes ) để biểu thị toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong siêu khối đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu khối như một hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle Tương tác Đa thức Thông tin Lý thuyết (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau thông qua sự tương tác với người xác minh, cho phép người chứng minh gửi từng bước đa thức, để người xác minh có thể xác minh tính đúng đắn của phép tính chỉ bằng cách truy vấn một số lượng nhỏ các kết quả đánh giá đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái có cách xử lý các biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Kế hoạch cam kết đa thức ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ): Kế hoạch cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các phương trình đa thức được tạo ra từ PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Một số kế hoạch cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và tình huống áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic phù hợp, có thể xây dựng các hệ thống chứng minh có thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với trọng tâm vào khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: kết hợp PLONK PIOP và FRI PCS, và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được tính tái diễn hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải tương thích với miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic được sử dụng, để đảm bảo tính đúng đắn, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Những lựa chọn kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh của SNARK và hiệu quả xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập tin cậy hay không, liệu có thể hỗ trợ chứng minh tái diễn hoặc chứng minh tổng hợp và các chức năng mở rộng khác hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu quả và an toàn của nó. Đầu tiên, cấu trúc số học dựa trên tháp miền nhị phân (towers of binary fields) đã tạo thành cơ sở cho tính toán của nó, có khả năng thực hiện phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP), Binius đã điều chỉnh kiểm tra tích và hoán vị HyperPlonk, đảm bảo tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác minh mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius đã sử dụng phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng phương án cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Trường hữu hạn: Toán học dựa trên các tháp của các trường nhị phân
Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu do hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và số học hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học cực kỳ hiệu quả, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu về hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quy trình số học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng khai thác đầy đủ các đặc tính phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó "canonical" chỉ cách thể hiện duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách thể hiện quy chuẩn này trong số bit đã cho. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải chuỗi 32 bit nào cũng có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có sự thuận tiện trong ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery và các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt ( như trong AES sử dụng ), giảm Montgomery ( như trong POLYVAL sử dụng ) và giảm đệ quy ( như Tower). Bài báo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào các bit mang trong các phép toán cộng và nhân, và phép bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản hóa (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 đã chỉ ra, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Sự linh hoạt trong biểu diễn này không cần bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một kiểu chuyển đổi chuỗi bit (typecast), là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu quả tính toán. Hơn nữa, tài liệu "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã thảo luận về độ phức tạp tính toán khi thực hiện phép nhân, bình phương và phép đảo ngược trong miền tháp nhị phân n bit ( có thể phân rã thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên của sản phẩm HyperPlonk và Kiểm tra hoán vị------Áp dụng cho trường nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, áp dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính chính xác của các đa thức và tập hợp nhiều biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh xem chứng nhận bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán tử của mạch C(x,ω)=0 hay không, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.
PermutationCheck: Xác minh kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức hợp lý trên khối siêu Boolean có bằng với một giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố của các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có giá trị bằng giá trị đã khai báo ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý hàng loạt, bằng cách đưa vào số ngẫu nhiên, cấu trúc tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý hàng loạt cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức nhiều biến để nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 trên siêu khối và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách chuyên biệt hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ trường hợp chia cho không, dẫn đến việc không thể khẳng định vấn đề không bằng không của U trên siêu khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các tình huống sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt trong việc xử lý các xác thực đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên trường nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: đối số dịch đa tuyến mới------áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ quan trọng, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức phát sinh từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp chính:
Đóng gói: Phương pháp này tối ưu hóa hoạt động bằng cách đóng gói các phần tử nhỏ hơn ở vị trí liền kề trong thứ tự từ điển thành các phần tử lớn hơn. Toán tử Pack nhắm đến các khối có kích thước 2κ và kết hợp chúng thành miền bậc cao.
Xem bản gốc
Trang này có thể chứa nội dung của bên thứ ba, được cung cấp chỉ nhằm mục đích thông tin (không phải là tuyên bố/bảo đảm) và không được coi là sự chứng thực cho quan điểm của Gate hoặc là lời khuyên về tài chính hoặc chuyên môn. Xem Tuyên bố từ chối trách nhiệm để biết chi tiết.
Đổi mới giao thức Binius: Tối ưu hóa STARK và đột phá hiệu suất dựa trên miền nhị phân
Phân tích nguyên lý Binius STARKs và suy nghĩ tối ưu của nó
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ đầu tiên là 252bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng độ rộng mã hóa 32bit vẫn còn tồn tại nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có bất kỳ không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các nghiên cứu gần đây về trường hữu hạn, nghiên cứu về trường nhị phân có thể được truy nguyên đến những năm 1980. Hiện tại, trường nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
Mã QR, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên trường F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo tính bảo mật. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính bảo mật và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong các phép toán của Prover không cần phải vào miền mở rộng mà chỉ cần thao tác trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính bảo mật cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền được sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền được sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đề xuất một giải pháp sáng tạo, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và thể hiện cùng một dữ liệu bằng hai phương pháp khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "siêu khối" ( hypercubes ) để biểu thị toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong siêu khối đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu khối như một hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle Tương tác Đa thức Thông tin Lý thuyết (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau thông qua sự tương tác với người xác minh, cho phép người chứng minh gửi từng bước đa thức, để người xác minh có thể xác minh tính đúng đắn của phép tính chỉ bằng cách truy vấn một số lượng nhỏ các kết quả đánh giá đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái có cách xử lý các biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Kế hoạch cam kết đa thức ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ): Kế hoạch cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các phương trình đa thức được tạo ra từ PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Một số kế hoạch cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và tình huống áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic phù hợp, có thể xây dựng các hệ thống chứng minh có thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với trọng tâm vào khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: kết hợp PLONK PIOP và FRI PCS, và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được tính tái diễn hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải tương thích với miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic được sử dụng, để đảm bảo tính đúng đắn, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Những lựa chọn kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh của SNARK và hiệu quả xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập tin cậy hay không, liệu có thể hỗ trợ chứng minh tái diễn hoặc chứng minh tổng hợp và các chức năng mở rộng khác hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu quả và an toàn của nó. Đầu tiên, cấu trúc số học dựa trên tháp miền nhị phân (towers of binary fields) đã tạo thành cơ sở cho tính toán của nó, có khả năng thực hiện phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP), Binius đã điều chỉnh kiểm tra tích và hoán vị HyperPlonk, đảm bảo tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác minh mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius đã sử dụng phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng phương án cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Trường hữu hạn: Toán học dựa trên các tháp của các trường nhị phân
Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu do hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và số học hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học cực kỳ hiệu quả, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu về hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quy trình số học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng khai thác đầy đủ các đặc tính phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó "canonical" chỉ cách thể hiện duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách thể hiện quy chuẩn này trong số bit đã cho. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải chuỗi 32 bit nào cũng có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có sự thuận tiện trong ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery và các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt ( như trong AES sử dụng ), giảm Montgomery ( như trong POLYVAL sử dụng ) và giảm đệ quy ( như Tower). Bài báo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào các bit mang trong các phép toán cộng và nhân, và phép bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản hóa (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 đã chỉ ra, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Sự linh hoạt trong biểu diễn này không cần bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một kiểu chuyển đổi chuỗi bit (typecast), là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu quả tính toán. Hơn nữa, tài liệu "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã thảo luận về độ phức tạp tính toán khi thực hiện phép nhân, bình phương và phép đảo ngược trong miền tháp nhị phân n bit ( có thể phân rã thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên của sản phẩm HyperPlonk và Kiểm tra hoán vị------Áp dụng cho trường nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, áp dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính chính xác của các đa thức và tập hợp nhiều biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh xem chứng nhận bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán tử của mạch C(x,ω)=0 hay không, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.
PermutationCheck: Xác minh kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức hợp lý trên khối siêu Boolean có bằng với một giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố của các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có giá trị bằng giá trị đã khai báo ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý hàng loạt, bằng cách đưa vào số ngẫu nhiên, cấu trúc tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý hàng loạt cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức nhiều biến để nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 trên siêu khối và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách chuyên biệt hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ trường hợp chia cho không, dẫn đến việc không thể khẳng định vấn đề không bằng không của U trên siêu khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các tình huống sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt trong việc xử lý các xác thực đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên trường nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: đối số dịch đa tuyến mới------áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ quan trọng, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức phát sinh từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp chính: