Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, việc sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu sẽ tạo ra nhiều giá trị dư thừa chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ đầu tiên là 252bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng độ rộng mã hóa 32bit vẫn còn rất nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có bất kỳ không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
So với các miền hữu hạn được phát hiện trong những nghiên cứu gần đây như Goldilocks, BabyBear, Mersenne31, nghiên cứu về miền nhị phân có thể truy ngược trở lại vào những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện tại, miền nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
Mã QR, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cũng như hàm băm Grøstl vào chung kết SHA-3, hàm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, việc mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo tính an toàn. Và miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã hóa.
Binius đã đưa ra một giải pháp đổi mới để xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và thể hiện dữ liệu giống nhau bằng hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua các giá trị của nó trên "khối siêu" ( hypercubes ) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong khối siêu đều là 2, do đó không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi khối siêu là hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle Tương tác Đa thức Lý thuyết Thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP, như là hệ thống chứng minh chính, chuyển đổi các mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi dần dần các đa thức thông qua sự tương tác với người xác minh, giúp người xác minh có thể xác minh tính chính xác của phép tính bằng cách truy vấn kết quả đánh giá của một lượng nhỏ đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái có cách xử lý khác nhau đối với biểu thức đa thức, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Chương trình cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Chương trình cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh sự tồn tại của các phương trình đa thức sinh ra bởi PIOP. PCS là một công cụ mật mã, qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn thông tin khác của đa thức. Các chương trình cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI(Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown, v.v. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và ứng dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic phù hợp, có thể xây dựng các hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế chú trọng đến khả năng mở rộng và loại bỏ trusted setup trong giao thức ZCash.
• Plonky2: áp dụng PLONK PIOP và FRI PCS kết hợp, và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để thực hiện đệ quy hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, nhằm đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Việc chọn những tổ hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước bằng chứng SNARK và hiệu suất xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập tin cậy hay không, có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như bằng chứng đệ quy hoặc bằng chứng tổng hợp hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu suất và an toàn. Đầu tiên, cấu trúc số học dựa trên tháp miền nhị phân (towers of binary fields) tạo thành nền tảng cho tính toán của nó, có thể thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius đã điều chỉnh HyperPlonk sản phẩm và kiểm tra hoán vị trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP) của mình, đảm bảo kiểm tra nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu suất xác minh các mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và độ an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Trường hữu hạn: Phép toán dựa trên các tháp của các trường nhị phân
Miền nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán nhanh chóng có thể xác minh, chủ yếu do hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và toán học hiệu quả. Miền nhị phân về bản chất hỗ trợ các thao tác toán học rất hiệu quả, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc miền nhị phân hỗ trợ quy trình toán học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên miền nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cộng với khả năng tận dụng đầy đủ các đặc điểm phân cấp thông qua cấu trúc tháp, khiến miền nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" chỉ cách thể hiện duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp tới một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách thể hiện chuẩn như vậy trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải tất cả các chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có sự tiện lợi của ánh xạ một-một như vậy. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, cũng như các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt ( như được sử dụng trong AES ), giảm Montgomery ( như được sử dụng trong POLYVAL ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Triển Khai Miền Số Nguyên Tố so với Miền Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào việc mang trong phép cộng và phép nhân, và phép bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y 2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử độc nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, 16 phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt của cách biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một chuyển đổi kiểu chuỗi bit (typecast), là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để nâng cao hiệu quả tính toán. Hơn nữa, tài liệu "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của các phép nhân, phép bình phương và phép đảo trong miền nhị phân tháp n bit ( có thể phân rã thành các miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên của sản phẩm HyperPlonk và PermutationCheck------thích hợp cho miền nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính đúng đắn của đa thức và tập hợp đa biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: xác minh chứng thực bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán tử của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động đúng cách.
PermutationCheck: Xác minh xem kết quả đánh giá của hai đa thức đa biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của các hoán vị giữa các biến của đa thức.
LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong khoảng đã chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức hợp lý trên khối siêu Boole có bằng một giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác thực một đa thức nhiều biến tại bất kỳ điểm nào trên khối siêu Boolean có bằng không hay không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo ∑x∈Hµ f(x) = s hay không. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức nhiều biến để nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 điểm sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được phép bằng 0 trên siêu lập phương, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quá trình kiểm tra này bằng cách đặc hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho 0: HyperPlonk không xử lý đầy đủ tình huống chia cho 0, dẫn đến không thể khẳng định vấn đề không phải 0 của U trên siêu khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả trong trường hợp mẫu số bằng 0, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này giúp Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải thiện cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là trong việc xử lý xác thực đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: lập luận dịch chuyển đa tuyến mới------áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ then chốt, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức được suy ra từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp quan trọng:
Packing: Phương pháp này thông qua
Xem bản gốc
Trang này có thể chứa nội dung của bên thứ ba, được cung cấp chỉ nhằm mục đích thông tin (không phải là tuyên bố/bảo đảm) và không được coi là sự chứng thực cho quan điểm của Gate hoặc là lời khuyên về tài chính hoặc chuyên môn. Xem Tuyên bố từ chối trách nhiệm để biết chi tiết.
7 thích
Phần thưởng
7
7
Chia sẻ
Bình luận
0/400
OnChain_Detective
· 15giờ trước
không nói dối, mẫu tối ưu hóa này trông khá nghi ngờ... chúng ta cần kiểm tra kỹ hơn về những tuyên bố miền nhị phân đó
Xem bản gốcTrả lời0
0xTherapist
· 20giờ trước
32 bit thì sao, vẫn là lãng phí không gian.
Xem bản gốcTrả lời0
CryptoCrazyGF
· 22giờ trước
Nghiên cứu nhiều như vậy có ích gì, trên chuỗi vẫn không chạy nhanh.
Xem bản gốcTrả lời0
MemeCurator
· 22giờ trước
Không hiểu thì sẽ hiểu!
Xem bản gốcTrả lời0
LiquidityWhisperer
· 23giờ trước
Giảm thiểu dữ liệu nhị phân, cũng khá thú vị.
Xem bản gốcTrả lời0
AirdropHunter007
· 23giờ trước
starks cũng có thể giảm cân tuyệt vời!
Xem bản gốcTrả lời0
TopEscapeArtist
· 23giờ trước
Ôi dào, đây lại là nhịp độ muốn kỹ thuật phá vỡ vùng đáy sao? Kinh nghiệm lịch sử nói với tôi đều là cạm bẫy~
Phân tích giao thức Binius: Triển khai STARKs hiệu quả trên miền nhị phân
Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, việc sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu sẽ tạo ra nhiều giá trị dư thừa chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ đầu tiên là 252bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng độ rộng mã hóa 32bit vẫn còn rất nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có bất kỳ không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
So với các miền hữu hạn được phát hiện trong những nghiên cứu gần đây như Goldilocks, BabyBear, Mersenne31, nghiên cứu về miền nhị phân có thể truy ngược trở lại vào những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện tại, miền nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
Mã QR, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cũng như hàm băm Grøstl vào chung kết SHA-3, hàm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, việc mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo tính an toàn. Và miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã hóa.
Binius đã đưa ra một giải pháp đổi mới để xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và thể hiện dữ liệu giống nhau bằng hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua các giá trị của nó trên "khối siêu" ( hypercubes ) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong khối siêu đều là 2, do đó không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi khối siêu là hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle Tương tác Đa thức Lý thuyết Thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP, như là hệ thống chứng minh chính, chuyển đổi các mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi dần dần các đa thức thông qua sự tương tác với người xác minh, giúp người xác minh có thể xác minh tính chính xác của phép tính bằng cách truy vấn kết quả đánh giá của một lượng nhỏ đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái có cách xử lý khác nhau đối với biểu thức đa thức, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Chương trình cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Chương trình cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh sự tồn tại của các phương trình đa thức sinh ra bởi PIOP. PCS là một công cụ mật mã, qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn thông tin khác của đa thức. Các chương trình cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI(Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown, v.v. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và ứng dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic phù hợp, có thể xây dựng các hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế chú trọng đến khả năng mở rộng và loại bỏ trusted setup trong giao thức ZCash.
• Plonky2: áp dụng PLONK PIOP và FRI PCS kết hợp, và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để thực hiện đệ quy hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, nhằm đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Việc chọn những tổ hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước bằng chứng SNARK và hiệu suất xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập tin cậy hay không, có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như bằng chứng đệ quy hoặc bằng chứng tổng hợp hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu suất và an toàn. Đầu tiên, cấu trúc số học dựa trên tháp miền nhị phân (towers of binary fields) tạo thành nền tảng cho tính toán của nó, có thể thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius đã điều chỉnh HyperPlonk sản phẩm và kiểm tra hoán vị trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP) của mình, đảm bảo kiểm tra nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu suất xác minh các mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và độ an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Trường hữu hạn: Phép toán dựa trên các tháp của các trường nhị phân
Miền nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán nhanh chóng có thể xác minh, chủ yếu do hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và toán học hiệu quả. Miền nhị phân về bản chất hỗ trợ các thao tác toán học rất hiệu quả, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc miền nhị phân hỗ trợ quy trình toán học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên miền nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cộng với khả năng tận dụng đầy đủ các đặc điểm phân cấp thông qua cấu trúc tháp, khiến miền nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" chỉ cách thể hiện duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp tới một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách thể hiện chuẩn như vậy trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải tất cả các chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có sự tiện lợi của ánh xạ một-một như vậy. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, cũng như các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt ( như được sử dụng trong AES ), giảm Montgomery ( như được sử dụng trong POLYVAL ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Triển Khai Miền Số Nguyên Tố so với Miền Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào việc mang trong phép cộng và phép nhân, và phép bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y 2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử độc nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, 16 phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt của cách biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một chuyển đổi kiểu chuỗi bit (typecast), là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để nâng cao hiệu quả tính toán. Hơn nữa, tài liệu "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của các phép nhân, phép bình phương và phép đảo trong miền nhị phân tháp n bit ( có thể phân rã thành các miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên của sản phẩm HyperPlonk và PermutationCheck------thích hợp cho miền nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính đúng đắn của đa thức và tập hợp đa biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: xác minh chứng thực bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán tử của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động đúng cách.
PermutationCheck: Xác minh xem kết quả đánh giá của hai đa thức đa biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của các hoán vị giữa các biến của đa thức.
LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong khoảng đã chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức hợp lý trên khối siêu Boole có bằng một giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác thực một đa thức nhiều biến tại bất kỳ điểm nào trên khối siêu Boolean có bằng không hay không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo ∑x∈Hµ f(x) = s hay không. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức nhiều biến để nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 điểm sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được phép bằng 0 trên siêu lập phương, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quá trình kiểm tra này bằng cách đặc hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho 0: HyperPlonk không xử lý đầy đủ tình huống chia cho 0, dẫn đến không thể khẳng định vấn đề không phải 0 của U trên siêu khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả trong trường hợp mẫu số bằng 0, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này giúp Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải thiện cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là trong việc xử lý xác thực đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: lập luận dịch chuyển đa tuyến mới------áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ then chốt, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức được suy ra từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp quan trọng: