Phân tích nguyên lý Binius STARKs và suy nghĩ tối ưu hóa
1. Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các số liệu trong các chương trình thực tế đều khá nhỏ, như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ 1 là 252bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ 2 là 64bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ 3 là 32bit, nhưng độ rộng mã hóa 32bit vẫn còn tồn tại nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thực hiện các thao tác trực tiếp trên bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ 4.
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và những phát hiện nghiên cứu mới trong những năm gần đây về trường hữu hạn, nghiên cứu về trường nhị phân có thể được truy nguyên lại từ những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện tại, trường nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
Mã QR, sử dụng mã Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI nguyên thủy và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl vào chung kết SHA-3, hàm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền càng trở nên quan trọng để đảm bảo tính an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, do đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đưa ra một giải pháp sáng tạo, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và biểu diễn cùng một dữ liệu bằng hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "siêu lập phương" ( hypercubes ) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong siêu lập phương đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu lập phương như hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo tính bảo mật trong khi nâng cao đáng kể hiệu suất mã hóa và hiệu suất tính toán.
2. Phân tích nguyên lý
Hiện nay, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau thông qua tương tác với người xác minh, cho phép người chứng minh gửi dần dần các đa thức, để người xác minh có thể xác minh tính chính xác của phép tính chỉ bằng cách truy vấn một số ít kết quả đánh giá của các đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái có cách xử lý các biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Kế hoạch cam kết đa thức ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ): Kế hoạch cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các đẳng thức đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn thông tin khác của đa thức. Một số kế hoạch cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) và Brakedown, v.v. Các PCS khác nhau có hiệu suất, tính bảo mật và các trường hợp sử dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với lĩnh vực hữu hạn hoặc đường cong elliptic thích hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế chú trọng vào khả năng mở rộng, cũng như loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: Kết hợp PLONK PIOP với FRI PCS và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được sự đệ quy hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải tương thích với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, để đảm bảo tính đúng đắn, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Việc lựa chọn những sự kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu quả xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh tập hợp.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ then chốt để đạt được hiệu quả và an toàn của nó. Đầu tiên, việc toán học hóa miền nhị phân theo kiểu tháp (towers of binary fields) đã tạo thành nền tảng cho tính toán của nó, có khả năng thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác của nó (PIOP), đã điều chỉnh kiểm tra sản phẩm và hoán vị của HyperPlonk, đảm bảo kiểm tra tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác minh quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng một phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và an ninh mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó xây dựng hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Miền hữu hạn: Tính toán dựa trên tháp của các trường nhị phân
Trường nhị phân dạng tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác thực nhanh chóng, chủ yếu nhờ vào hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và khái niệm tính toán hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học rất hiệu quả, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu về hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc của trường nhị phân hỗ trợ quy trình tính toán được đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số ngắn gọn và dễ xác thực. Những đặc điểm này, cùng với khả năng tận dụng đầy đủ các đặc tính phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" đề cập đến cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong trường nhị phân. Ví dụ, trong trường nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử của trường nhị phân k bit. Điều này khác với trường số nguyên tố, trường số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn như vậy trong một số bit nhất định. Mặc dù trường số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử của trường, trong khi trường nhị phân có sự thuận tiện của ánh xạ một-một này. Trong trường số nguyên tố Fp, các phương pháp rút gọn phổ biến bao gồm rút gọn Barrett, rút gọn Montgomery, và các phương pháp rút gọn đặc biệt cho các trường hữu hạn nhất định như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong trường nhị phân F2k, các phương pháp rút gọn thường được sử dụng bao gồm rút gọn đặc biệt ( như được sử dụng trong AES ), rút gọn Montgomery ( như được sử dụng trong POLYVAL ) và rút gọn đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của Các Triển Khai Phần Cứng ECC Trường Số Nguyên Tố So Với Trường Nhị Phân" chỉ ra rằng trong trường nhị phân, cả phép cộng và phép nhân đều không cần phải đưa vào các số mang, và phép bình phương trong trường nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được xem như một phần tử độc nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt của cách biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là việc chuyển đổi kiểu của chuỗi bit (typecast), là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được gói lại thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần thêm chi phí tính toán. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để nâng cao hiệu suất tính toán. Hơn nữa, tài liệu "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, bình phương và phép đảo trong miền tháp nhị phân n bit ( có thể được phân tích thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên của sản phẩm HyperPlonk và Kiểm tra hoán vị------Áp dụng cho miền nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, áp dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi, được sử dụng để xác minh tính chính xác của các đa thức và tập hợp nhiều biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác thực chứng minh bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán tử mạch C(x, ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.
PermutationCheck: Xác minh xem kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong khoảng xác định.
MultisetCheck: Kiểm tra hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức có lý trên hypercube Boole có bằng giá trị được tuyên bố nào không ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân phối các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã tuyên bố hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, bằng cách đưa vào số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý lô nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của nhiều đa thức nhiều biến, nhằm nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U phải khác không tại mọi điểm trên siêu khối, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặc trưng hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ tình huống chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định U không bằng không trên hypercube; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả trong trường hợp mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích sản nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các tình huống sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải thiện cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là trong việc xử lý các xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên trường nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: lập luận dịch chuyển đa tuyến mới------thích hợp cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những kỹ thuật quan trọng, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức phát sinh từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp chính:
Packing: Phương pháp này thông
Xem bản gốc
Trang này có thể chứa nội dung của bên thứ ba, được cung cấp chỉ nhằm mục đích thông tin (không phải là tuyên bố/bảo đảm) và không được coi là sự chứng thực cho quan điểm của Gate hoặc là lời khuyên về tài chính hoặc chuyên môn. Xem Tuyên bố từ chối trách nhiệm để biết chi tiết.
Binius STARKs: Ứng dụng đổi mới và tối ưu hiệu suất trong miền nhị phân
Phân tích nguyên lý Binius STARKs và suy nghĩ tối ưu hóa
1. Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các số liệu trong các chương trình thực tế đều khá nhỏ, như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ 1 là 252bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ 2 là 64bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ 3 là 32bit, nhưng độ rộng mã hóa 32bit vẫn còn tồn tại nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thực hiện các thao tác trực tiếp trên bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ 4.
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và những phát hiện nghiên cứu mới trong những năm gần đây về trường hữu hạn, nghiên cứu về trường nhị phân có thể được truy nguyên lại từ những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện tại, trường nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
Mã QR, sử dụng mã Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI nguyên thủy và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl vào chung kết SHA-3, hàm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền càng trở nên quan trọng để đảm bảo tính an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, do đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đưa ra một giải pháp sáng tạo, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và biểu diễn cùng một dữ liệu bằng hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "siêu lập phương" ( hypercubes ) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong siêu lập phương đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu lập phương như hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo tính bảo mật trong khi nâng cao đáng kể hiệu suất mã hóa và hiệu suất tính toán.
2. Phân tích nguyên lý
Hiện nay, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau thông qua tương tác với người xác minh, cho phép người chứng minh gửi dần dần các đa thức, để người xác minh có thể xác minh tính chính xác của phép tính chỉ bằng cách truy vấn một số ít kết quả đánh giá của các đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái có cách xử lý các biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Kế hoạch cam kết đa thức ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ): Kế hoạch cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các đẳng thức đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn thông tin khác của đa thức. Một số kế hoạch cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) và Brakedown, v.v. Các PCS khác nhau có hiệu suất, tính bảo mật và các trường hợp sử dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với lĩnh vực hữu hạn hoặc đường cong elliptic thích hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế chú trọng vào khả năng mở rộng, cũng như loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: Kết hợp PLONK PIOP với FRI PCS và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được sự đệ quy hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải tương thích với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, để đảm bảo tính đúng đắn, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Việc lựa chọn những sự kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu quả xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh tập hợp.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ then chốt để đạt được hiệu quả và an toàn của nó. Đầu tiên, việc toán học hóa miền nhị phân theo kiểu tháp (towers of binary fields) đã tạo thành nền tảng cho tính toán của nó, có khả năng thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác của nó (PIOP), đã điều chỉnh kiểm tra sản phẩm và hoán vị của HyperPlonk, đảm bảo kiểm tra tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác minh quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng một phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và an ninh mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó xây dựng hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Miền hữu hạn: Tính toán dựa trên tháp của các trường nhị phân
Trường nhị phân dạng tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác thực nhanh chóng, chủ yếu nhờ vào hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và khái niệm tính toán hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học rất hiệu quả, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu về hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc của trường nhị phân hỗ trợ quy trình tính toán được đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số ngắn gọn và dễ xác thực. Những đặc điểm này, cùng với khả năng tận dụng đầy đủ các đặc tính phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" đề cập đến cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong trường nhị phân. Ví dụ, trong trường nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử của trường nhị phân k bit. Điều này khác với trường số nguyên tố, trường số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn như vậy trong một số bit nhất định. Mặc dù trường số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử của trường, trong khi trường nhị phân có sự thuận tiện của ánh xạ một-một này. Trong trường số nguyên tố Fp, các phương pháp rút gọn phổ biến bao gồm rút gọn Barrett, rút gọn Montgomery, và các phương pháp rút gọn đặc biệt cho các trường hữu hạn nhất định như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong trường nhị phân F2k, các phương pháp rút gọn thường được sử dụng bao gồm rút gọn đặc biệt ( như được sử dụng trong AES ), rút gọn Montgomery ( như được sử dụng trong POLYVAL ) và rút gọn đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của Các Triển Khai Phần Cứng ECC Trường Số Nguyên Tố So Với Trường Nhị Phân" chỉ ra rằng trong trường nhị phân, cả phép cộng và phép nhân đều không cần phải đưa vào các số mang, và phép bình phương trong trường nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được xem như một phần tử độc nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt của cách biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là việc chuyển đổi kiểu của chuỗi bit (typecast), là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được gói lại thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần thêm chi phí tính toán. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để nâng cao hiệu suất tính toán. Hơn nữa, tài liệu "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, bình phương và phép đảo trong miền tháp nhị phân n bit ( có thể được phân tích thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên của sản phẩm HyperPlonk và Kiểm tra hoán vị------Áp dụng cho miền nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, áp dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi, được sử dụng để xác minh tính chính xác của các đa thức và tập hợp nhiều biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác thực chứng minh bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán tử mạch C(x, ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.
PermutationCheck: Xác minh xem kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong khoảng xác định.
MultisetCheck: Kiểm tra hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức có lý trên hypercube Boole có bằng giá trị được tuyên bố nào không ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân phối các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã tuyên bố hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, bằng cách đưa vào số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý lô nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của nhiều đa thức nhiều biến, nhằm nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U phải khác không tại mọi điểm trên siêu khối, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặc trưng hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ tình huống chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định U không bằng không trên hypercube; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả trong trường hợp mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích sản nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các tình huống sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải thiện cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là trong việc xử lý các xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên trường nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: lập luận dịch chuyển đa tuyến mới------thích hợp cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những kỹ thuật quan trọng, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức phát sinh từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp chính: