Phân tích nguyên lý Binius STARKs và suy nghĩ tối ưu hóa

1 Giới thiệu

Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị true/false, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi mở rộng dữ liệu bằng mã hóa Reed-Solomon, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền đã trở thành chiến lược then chốt.

Độ rộng mã của STARKs thế hệ đầu tiên là 252bit, độ rộng mã của STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, độ rộng mã của STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng độ rộng mã 32bit vẫn còn tồn tại nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.

So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các nghiên cứu mới trong những năm gần đây về miền hữu hạn, nghiên cứu về miền nhị phân có thể được truy nguyên đến những năm 1980. Hiện tại, miền nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:

• Chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;

• Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;

• Mã QR, sử dụng mã Reed-Solomon dựa trên F28;

• Giao thức FRI ban đầu và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl vào chung kết SHA-3, hàm băm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.

Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo tính bảo mật. Và miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính bảo mật và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong các phép toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính bảo mật cần thiết.

Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tiễn: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.

Binius đã đề xuất một giải pháp sáng tạo, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và đạt được điều này bằng cách biểu diễn cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến (cụ thể là đa thức đa tuyến tính) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "siêu lập phương" (hypercubes) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều siêu lập phương đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu lập phương là hình vuông (square), và thực hiện mở rộng Reed-Solomon dựa trên hình vuông đó. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.

2 Phân tích nguyên lý

Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:

• Chứng minh Oracle Tương tác Đa thức Dựa trên Thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP, là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi từng bước đa thức thông qua tương tác với người xác minh, cho phép người xác minh xác nhận tính chính xác của phép tính bằng cách truy vấn kết quả đánh giá của một số ít đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PIOP PLONK, PIOP Spartan và PIOP HyperPlonk, mỗi giao thức có cách xử lý biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.

• Chế độ cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Chế độ cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Một số chế độ cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI (Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và trường hợp ứng dụng khác nhau.

Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn PIOP và PCS khác nhau, kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:

• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với sự chú trọng vào khả năng mở rộng, cũng như loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.

• Plonky2: Kết hợp PLONK PIOP và FRI PCS, dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được tính tái diễn hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải tương thích với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn của những tổ hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu suất xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và liệu có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh tái diễn hoặc chứng minh tổng hợp hay không.

Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ then chốt để đạt được hiệu quả và an toàn. Đầu tiên, cấu trúc số học dựa trên các tháp miền nhị phân (towers of binary fields) tạo thành nền tảng cho tính toán của nó, có khả năng thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius đã điều chỉnh kiểm tra sản phẩm và hoán vị trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP) của nó từ HyperPlonk, đảm bảo kiểm tra tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh chuyển vị đa thức mới, tối ưu hóa hiệu quả xác minh mối quan hệ đa thức trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng chứng minh tìm kiếm Lasso phiên bản cải tiến, cung cấp tính linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng sơ đồ cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó triển khai hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm bớt chi phí thường liên quan đến miền lớn.

2.1 Miền hữu hạn: toán tử hóa dựa trên towers of binary fields

Trường nhị phân tháp là yếu tố then chốt để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu nhờ vào hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và tính toán hóa hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học cực kỳ hiệu quả, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu về hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quá trình tính toán hóa đơn giản, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng tận dụng triệt để các đặc tính phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.

Trong đó, "canonical" đề cập đến cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong trường nhị phân. Ví dụ, trong trường nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào đều có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử trường nhị phân k bit. Điều này khác với trường số nguyên tố, nơi không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn như vậy trong một số bit nhất định. Mặc dù trường số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử trường, trong khi trường nhị phân lại có sự tiện lợi của ánh xạ một-một này. Trong trường số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm thiểu phổ biến bao gồm giảm thiểu Barrett, giảm thiểu Montgomery, và các phương pháp giảm thiểu đặc biệt cho các trường hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong trường nhị phân F2k, các phương pháp giảm thiểu thường được sử dụng bao gồm giảm thiểu đặc biệt (như trong AES), giảm thiểu Montgomery (như trong POLYVAL) và giảm thiểu đệ quy (như Tower). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Triển Khai Trường Số Nguyên Tố so với Trường Nhị Phân" chỉ ra rằng trường nhị phân không cần phải giới thiệu sự chuyển đổi trong các phép toán cộng và nhân, và phép bình phương trong trường nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc giản lược (X + Y )2 = X2 + Y2.

Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, 16 phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt của cách biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một chuyển đổi kiểu (typecast) của chuỗi bit, là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được gói lại thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để nâng cao hiệu quả tính toán. Hơn nữa, bài báo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, phép bình phương và phép đảo trong miền tháp nhị phân n bit (có thể phân tích thành miền con m bit).

2.2 PIOP: Phiên bản chuyển thể của sản phẩm HyperPlonk và PermutationCheck------áp dụng cho trường nhị phân

Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp nhiều biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:

1. GateCheck: Xác minh liệu chứng nhận bảo mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn mối quan hệ toán học của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.

2. PermutationCheck: Xác minh xem kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên siêu khối Boolean có phải là quan hệ hoán vị f(x) = f(π(x)) hay không, để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.

3. LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.

4. MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.

5. ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức hợp lý trên khối siêu Boolean có bằng với giá trị đã tuyên bố ∏x∈Hµ f(x) = s hay không, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.

6. ZeroCheck: Kiểm tra một đa thức nhiều biến có phải là không tại bất kỳ điểm nào trên tứ diện Boolean ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố điểm không của đa thức.

7. SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã tuyên bố ∑x∈Hµ f(x) = s hay không. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý hàng loạt bằng cách đưa vào số ngẫu nhiên, tạo ra tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý hàng loạt nhiều trường hợp kiểm tra tổng.

8. BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác thực tính chính xác của nhiều giá trị đa biến đa thức để tăng cường hiệu quả của giao thức.

Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:

• Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 tại mọi điểm trên siêu lập phương và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặc trưng giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.

• Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ tình huống chia cho không, dẫn đến việc không thể khẳng định vấn đề không bằng không của U trên siêu khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số là không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng cho bất kỳ giá trị tích nào.

• Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các tình huống sắp xếp đa thức phức tạp hơn.

Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt trong việc xử lý các xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.

2.3 PIOP：thảo luận mới về tham số dịch nhiều chiều------áp dụng cho hypercube boolean

Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ then chốt, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức phát sinh từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp chính:

• Đóng gói：Phương pháp này tối ưu hóa hoạt động bằng cách đóng gói các phần tử nhỏ hơn trong các vị trí liền kề của thứ tự từ điển thành các phần tử lớn hơn. Toán tử Pack hoạt động trên các khối có kích thước 2κ và sẽ thực hiện chúng.